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这是一个抽象的纤维丛示意图：底空间M（代表物理区域Ω，或某种约化后的相空间），纤维F_x代表某点x处“所有可能的局部流场信息”
（用射流空间J^k_x近似），整体构成纤维丛E。
一个截面s:M→E代表一个流场构型。
下方写着关键对应：*NS方程的解?纤维丛E上满足特定“曲率约束”
F_A=J（s）的联络A的平行截面（或某种推广）。
中间，用黑色粗线画了一个大大的、向上的箭头，连接左右两侧，旁边标注：几何化对应。
但这幅“地图”
的核心，也是此刻洛清雪全部精神聚焦之处，是白板右下角一片用绿色笔迹圈出的区域。
那里写着一个新的标题：
莫尔斯理论视角：能量地形图与临界点
下面列着一系列公式和概念：
相空间（或构型空间）X：所有满足不可压缩条件?·u=0的、适当光滑（如H1）的向量场u的集合。
这是一个无穷维的希尔伯特流形（或更一般的巴拿赫流形）。
NS方程可以写为dudt=-?E（u）-νΔu，其中?E是能量泛函E（u）=12∫|u|2dV在约束流形X上的梯度（在合适的Sobolev内积下）。
更一般地，考虑能量耗散泛函：Φ_ν（u）=E（u）+ν∫_0^t∫|?×u|2dVdt，其梯度流给出带粘性的NS方程。
稳态解（定常解）：满足?u?t=0的解，即-?E（u）-νΔu=0（在约束下）。
这恰好是能量泛函E（u）（或更一般的Lyapunov泛函）在约束流形X上的临界点（criticalpoint）！
因为稳态解满足一阶变分δE=0（在满足不可压缩条件和可能的边界条件下）。
临界点的类型（由Hessian矩阵，即二阶变分δ2E的特征值决定）：
局部极小点（所有特征值>0）：对应稳定的稳态解（如层流、某些稳定的涡旋结构）。
局部极大点（所有特征值
鞍点（特征值有正有负）：对应有稳定流形和不稳定流形的稳态解，通常是连接不同流动状态的“门户”
或“分岔点”
。
莫尔斯理论的核心思想：研究流形M上光滑函数f:M→?的临界点（即梯度为零的点）的拓扑性质（指标、非退化性）与流形M本身的拓扑（同调群、贝蒂数）之间的深刻联系。
具体地，如果f是一个莫尔斯函数（所有临界点非退化），那么流形M的同伦型（实际上，微分结构）可以由f的临界点信息完全决定（通过处理临界点来构造M的胞腔复形）。
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