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洛清雪的“允许权”
概念，成了他手中最锋利的凿子。
他不再将奇点视为需要逃避或隔离的“病态”
，而是尝试用几何的语言去“描述”
它。
他将权重函数ω与锥奇点的角度参数α、以及奇点附近度量趋于极限锥的收敛速率精密地绑定起来。
他证明了，在他定义的、依赖于奇点几何的“允许权”
ω下，奇点附近加权测度的畸变是可控的，这首接来自洛清雪论文附录中那些基于比较几何的估计思想。
他将奇点的“尖锐”
程度（α）和度量的“渐近”
行为，转化为了权重函数ω的可量化属性，从而将奇点的影响纳入了分析的框架，而不是将其排除在外。
接着，他利用洛清雪建立的加权Hardy空间与BMO空间的对偶理论，开始攻击度量构造中的核心分析问题。
他需要证明，他试图构造的度量张量分量（或其势函数），在加权意义下属于某个适当的函数空间（如加权的Sobolev空间或Holder空间）。
这里，洛清雪理论中关于加权极大算子有界性和加权Calderón-Zygmund分解的结论，成为他建立先验估计的起点。
他成功地将一个复杂的、与复Monge-Ampère型方程相关的非线性估计问题，转化为了在加权框架下可控的线性估计迭代。
非紧区域的挑战接踵而至。
在无穷远处，他需要保证构造的度量具有某种“良好”
的渐近行为（如趋于局部欧氏，或另一个简单的模型锥），同时各种积分（如能量、曲率积分）必须收敛。
洛清雪论文中处理紧流形，但她的方法蕴含的精神——通过几何条件（曲率下界、非塌缩）来控制分析常数——给了他启示。
他引入了巧妙的截断函数和尺度论证，将非紧区域分解为一系列重叠的、几何性质越来越“温和”
的环形区域。
在每一个环形区域上，他利用流形在无穷远处的渐近假设（如具有非负的双分里奇曲率渐近行为），结合加权理论，证明了度量的相关积分在每一环上的可控性，然后利用重叠区域的技巧和级数求和，证明了整体积分的收敛。
这本质上是将洛清雪的“局部覆盖与粘合”
思想，从紧流形的有限覆盖，推广到了非紧流形的无穷但可控的“层进式”
覆盖。
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