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在流形的一些区域，她画了一些扭曲的、非标准的“小区域”
，旁边标注着“适配局部坐标卡”
和“加权体积元ω^h”
。
这些区域并非简单的圆形或方形，而是形状不规则，边界用虚线表示，似乎暗示着某种“软化”
或“可变”
的边界概念。
图上还有一些箭头，连接着不同的区域，旁边写着“转移函数”
、“度量畸变”
、“拼接条件”
等术语。
而在草稿纸的西周和空白处，则布满了密集的数学推导。
这不再是几周前那些试探性的、充满问号和“可能”
的草图，而是一系列严谨的、步步为营的定义、引理、命题和证明梗概。
公式层层叠叠，微分形式、外积、霍奇星算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子、索伯列夫空间范数、赫尔德连续性模……各种高阶的数学对象在其中穿梭、组合、变形，如同构建一座精密而繁复的思维宫殿。
她的研究，进入了最核心、也最艰难的攻坚阶段：如何在紧致的、可能具有非平凡拓扑的卡拉比-丘流形上，定义并刻画一个与流形复几何结构相适配的、有意义的BMO（有界平均振荡）型函数空间，并建立其与相应的哈代型空间（H^p）之间的对偶理论。
经典的欧几里得空间上的调和分析，其威力很大程度上源于空间的均匀性、平移不变性和各向同性。
BMO空间可以通过函数在标准球上的平均振荡来定义，其与哈代空间H^1的对偶性（Fefferman-Stein对偶定理）是调和分析的基石之一，在偏微分方程、复分析、概率论等领域有深远应用。
然而，一旦离开平首空间，来到弯曲的、甚至拓扑复杂的黎曼流形，尤其是像卡拉比-丘流形这样的复流形，许多在欧氏空间中理所当然的性质（如全局坐标系、平移不变性、标准球的存在性）都失效了。
如何将BMO这样一个强烈依赖于“局部平均”
和“振荡”
概念的空间推广到流形上，是一个极具挑战性的问题。
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