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白板上，左侧区域写着一个标题：“仿射平坦流形（AffinelyFlatManifolds）与陈猜想（jecture）”
。
下面列出了一些定义和己知结果：
仿射平坦流形M：一个光滑流形，其切丛TM上存在一个无挠的平坦仿射联络（torsion-freeflataffinee）?。
这意味着曲率张量R（?）=0，且挠率T（?）=0。
几何意义：局部上，M与标准的仿射空间R^n是仿射等价的（即存在局部坐标系，使得联络系数Γ^k_{ij}=0）。
或者说，M可以被仿射变换群Aff（n）=GL（n，?）??^n的离散子群的商空间来刻画。
陈省身猜想（jecture）：一个紧致的仿射平坦流形，其欧拉示性数χ（M）必须为零。
即，任何紧致仿射平坦流形，其拓扑（由欧拉数刻画）必须允许这种平坦的仿射结构。
己知情况：猜想在维数n=2时成立（由米尔诺等人证明）。
在维数n=3时，对某些特定类型的流形（如某些三维流形）有部分结果。
高维情况仍是开放问题。
有界上同调（Boundedology）：白板上还写着H^_b（M;?）的定义，以及一个关键事实（由某些数学家证明）：对于完备（plete）的仿射平坦流形，其所有实系数有界上同调群都是平凡的，即H^k_b（M;?）=0对k≥1。
*
他们讨论的焦点，正是这个“有界上同调为零”
的性质与陈猜想之间的关系，以及如何理解仿射平坦结构对流形拓扑施加的强大约束。
“……所以，”
洛清雪用笔尖轻轻点着“有界上同调为零”
那一行，转过身面向费弗曼教授，语速平稳但思路极为清晰，“当前的理解是，仿射平坦结构，特别是当它是完备的时候，以一种非常深刻的方式‘刚性’了流形。
这种刚性不仅体现在几何上（局部仿射等价），也体现在代数拓扑的层面上，即消灭了有界上同调。
有界上同调与流形的大尺度几何、与拟等距不变量、乃至与遍历论都有深刻联系。
它的消失，意味着这个流形在某种‘有界’的意义上，拓扑非常简单。”
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