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从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。
依这个观察的结果，我们可不可以说11的n次方便是1n……n1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。
11的5乘方，照实际计算的结果是161051。
上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。
由这个例子可以看出来，单就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。
由这个理由，我们就不得不怀疑我们前面所得出的三个公式。
倘使没有别的方法去证明，在那三个例中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外一条路来解决。
是的，确实应该对前面所得出的三个公式产生怀疑，但我们也并非毫无根据。
第一个式子最少到7是对的，第二、第三个式子最少到4也是对的。
我们若耐心地接着试验下去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。
但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。
我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”
它的形式是对的，再来加以检查，为了方便，容我在此重写一次：
在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。
假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然只是依照式子的“形式”
去考查，但这种考查我们用不着怀疑。
在某种意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。
所谓n变到n+1，无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：
从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式完全相同。
因此，我们得出一个极重要的结论：“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”
事实上，我们已经观察出来了，这三个式子至少对于4都是对的。
运用这个结论，我们无需再试验，也就有理由可以断定它们对于5（4+1）都是对的。
既然对于5对了，那么同一理由，对于6（5+1）也是对的，再推下去对于7（6+1）、8（7+1）、9（8+1）……都是对的。
到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。
这种证明法，我们叫它是数学的归纳法。
数学上常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。
关于堆罗汉这类级数的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。
本来：
S=1+2+3+……+（n_2）+（n_1）+n
若将这式子右边各项颠倒顺序，就得：S=n+（n_1）+（n_2）+……+3+2+1再将两式相加，便得出下面的式子：
两边再用2去除，于是：
这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点儿用不着怀疑，不过我们所用的方法究竟可不可靠也得注意。
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